تعرف على ضرب المصفوفات
تعرف على ضرب المصفوفات وتعرفها واهميتها وانواعها وجمع وطرح ضرب وقسمة المصفوفات الذي نشأتة عام 1800 م باسم صفائف، وانتشرت بعد ذلك إلى الصين، ودول أوروبا، ودول العالم.
تعرف على ضرب المصفوفات :-
تتكون المصفوفات من أحد أبحاث وفروع علم الرياضيات، وتتكون من أكثر الأبحاث دقة في الكثير من المجالات، وهي وسيلة ارسال للمعلومات والبيانات والأرقام عبر سلسلة من عمليات المعالجة الخاصة، وقد تُمثل مجموعة من الأرقام والرموز المرتبة في صفوف وأعمدة لتشكل مجموعة من المحارف المستطيلة، مع وجود قطر رئيسي، وتتمثل فكرة المصفوفات في عالم الرياضيات ككيان جبري، وتم تحديث المصفوفات جبريًا بواسطة آرثر كايلي وتمّ تمثيلها في حلّ المعادلات الخطية في البداية، ومع تقدّم الرياضيات والعلوم تمّ استخدمها في الكثير من الأبحاث، وتمّ ترتيب العديد من الأنواع والاستخدامات التطبيقية للمصفوفات عبر تحديد أنواع المدخلات وحجمها وعدد أسطرها وأعمدتها، وسيتم شرح أنواع المصفوفات في الرياضيات فيما يلي:-
تعريف المصفوفات
هي تمثيل مستطيل الشكل ومجموعة من الاعداد على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين.
انواع المصفوفات
المصفوفة المربعة: هي مصفوفة عادية ذو محارف مختلفة وعدد أسطر وأعمدة متساويه.
المصفوفة المستطيلة: هي مصفوفة عادية ذو محارف مختلفة ويكون عدد أسطرها أكبر من عدد أعمدتها أو العكس.
مصفوفة العامود: هي مصفوفة مستطيلة ويكون عدد أعمدتها يساوي الواحد، في مؤلفة من عمود فقط. مصفوفة الصف: هي مصفوفة مستطيلة فيها عدد الصفوف يساوي الواحد أي عكس مصفوفة العامود.
المصفوفة الواحدية: هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تساوي الصفر ما عدا عناصر القطر الرئيسي، التي تكون تساوي الواحد.
المصفوفة القطرية: هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها صفر إلى عناصر القطر الرئيسي تكون ذو قيم مختلفة.
المصفوفة الثلاثية العليا: هي مصفوفة مربعة تكون مداخلها الموجوده تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر، وأما العناصر والمدخلات التي تقع ضمن القطر الرئيسي وفوقه تكون ذو قيم.
المصفوفة الثلاثية الدنيا: هي مصفوفة مربعة عكس المصفوفة الثلاثية العليا،وفيها تكون جميع العناصر التي تقع فوق القطر الرئيسي مساوية للصفر، وأما عناصر القطر الرئيسي والتي تحته فتكون ذو قيم.
مهارات درس العمليات و ضرب المصفوفات مادة الرياضيات 3 مقررات لعام 1441 هـ
وفيما يلي الخوارزمية العامة لإيجاد معكوس أي مصفوفة A-1
- استبدال الصفوف مع بعضها إذا وقع صفر على قطر المصفوفة
- جمع العنصر الواقع على قطر المصفوفة ضمن الصف الذي تجري عليه العمليات الحسابية واحداً وبقسمة جميع عناصر ذلك الصف على قيمة العنصر الواقع على قطر المصفوفة في هذا الصف.
- الحذف بطريقة كاوس أو بطريقة أخرى.
- تطبيق النقاط الثلاثة أعلاه على كل صف من الصفوف المصفوفة أي يجب تطبيقها N من المرات إذا كان حجم المصفوفة A يساوى . N×N
أهمية بحث المصفوفات
تتكون أهمية البحث فى معرفة مدي استخدام علم المصفوفات فى العلوم التطبيقية كوسيلة فعالة والتي تكون بغرض تسهيل العمليات الرياضيه المعقدة بالاضافة لاختصار الوقت واعطاء النتائج بصورة اكثر دقة
مشكلة بحث المصفوفات
يجهل من الدارسين دور واهمية المصفوفات فى الحياة انهم يرونها لا تتعدي فقط العمليات الجبرية المعروفة لذلك كانت مشكلة البحث تتكون فى معرفة دور المصفوفات واستخدامها فى كثير من الجوانب الحياتية التطبيقية العملية المختلفة .
اهداف بحث المصفوفات
- معرفة دور المصفوفات وطريقة استخدامها فى المجالات المختلفة ورصد البيانات عليها .
- استخدام المصفوفات كأداة للتوقع والتنبؤ لمتغيرات ما يوجد على ظاهرة معينة او مجموعة ظواهر .
- إستخدام المصفوفات كأداة قياس وحساب المتغيرات .
جمع المصفوفات
يمكن جمع مصفوفتين فلابد أن يكونا من نفس القياس. ويعرف بحاصل جمع مصفوفتين بأنها المصفوفة الناتجة عن جمع العناصر المتناظرة في المصفوفتين.
ضرب المصفوفات
ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر يُضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة مصفوفة جديدة تحتوي علي العدد نفسه من العناصر .
ضرب مصفوفة في مصفوفة
يجب في البداية نعلم أن ضرب المصفوفات غير تبديلي.
من أجل إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين (وهو مصفوفة)، يجب أن يتحقق الشرط التالي:
عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية.
بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد ، يجب أن يكون b=c.
سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان،.
ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر ، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.
وعند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، ف،بذلك نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)،ونقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.
إن عملية ضرب المصفوفات تختلف عن عملية ضرب الأعداد او حتى عن عمليات جمع وطرح وضرب المصفوفة بعدد حقيقي.
فعملية ضرب المصفوفات تعتمد على رتبة المصفوفات اعتماداً كليا، فمثلا عند ضرب مصفوفتين يجب ان يكون عدد اعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
وبالرموز إذا كانت ا مصفوفة من الرتبة م × ن والمصفوفة ب من الرتبة ن × ل فيمكن إجراء عملية الضرب حيث أ م×ن × ب ن×ل ممكن لأن عدد اعمدة المصفوفة أ مساويا لعدد صفوف المصفوفة ب ، وتكون المصفوفة الناتجة من الرتبة م× ل
معكوس المصفوفة
معكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة ويكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة.
تدعى المصفوفة A مصفوفة قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة B تحقق العلاقة التالية:
AB = In
و تدعى المصفوفة B بمقلوب المصفوفة A ويرمز لها بالرمز A−1. يكون للمصفوفة المربعة من الدرجة n إذا كانت مصفوفة غير شاذة ويكون معكوسها وحيد. ويحسب معكوس المصفوفة من العلاقة :
وتكون |A| محدد المصفوفة A وCij المصفوفة المرافقة:
و يكون بالتالي معكوس المصفوفة المربع ذات الدرجة الثانيه :
يمتاز معكوس المصفوفة بالخصائص التالية:
معكوس مصفوفة هو المصفوفة الأصلية نفسها أي:
منقول معكوس مصفوفة يساوي إلى معكوس منقول المصفوفة أي:
معكوس جداء مصفوفتين يساوي إلى حاصل ضرب معكوس المصفوفة الثانية في معكوس المصفوفة الأولى أي:
مثال على تحويل من مجموعة انطلاق إلى مجموعة وصول
لنعتبر مثلا الشعاع التالي:
و المصفوفة التالية:
عملية تحويل الشعاع تتم على النحو التالي:
وهكذا نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى إلى شعاع X ينتمي إلى ال . أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر و n من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الانطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال .
ويمكن اعتبار المصفوفات نوعا خاصا من التنسورات ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية.
